Задача 10: Енергийни уравнения      Дискусии върху задачите се водят ТУК!

Дадено:

 Една механично – пневматична система се състои от две твърди тела с маси m₁ и m₂, една масова точка (m₃), две шайби (m₄, m₅, J_s4, J_s5 ), една цилиндрична пружина с твърдост с, един амортисьор с твърдост d и една спираловидна пружина с твърдост c_d. На едно колело е закрепен един безтегловен сензор. Двете твърди тела m₁ и m₂ затварят входа и изхода на една Г – образна тръба с площ на напречното и сечение А. Между двете тела се образува въздушният обем V с налягането p. Компонентите в системата са разположени точно както е показано на схемата.

Величините x₁, y₂, x₃ и y₃ описват позициите на масите m₁, m₂ и m₃. Ъглите на завъртане на масите са съответно  ψ и φ.

Масовата точка m₃ е ексцентрично разположена върху колелото m₄. Тази точка репрезентира едно неравномерно разположение на масата на колелото. Колелото m₄ е лагерувано в тялото m₁. Налягането в тръбата се описва от закона p(V) = k/V,  с k = const. За x₁ = x₂ = 0 въздушния обем е V₀. Налягането p(V) действа също вурху тялото m₂, което е свързано чрез пружината c и амортисиьора d с околната среда. Пружината c е за x₁ = 0 напулно отпусната. Колелото m₅ се търкаля без преплъзване по долната страна на m₂. За x₁ = 0 е φ = 0. Винтовата пружина c_d  е за φ = 0 напълно отпусната.

Земното притегляне g действа във вертикална посока. Триенето в лагерите може да се пренебрегне.

1.       В последствие се избират x₁, y₂ и ψ като генерализирани координати. Задайте останалите неизвестни координати като функция на генерализираните. Определете налягането p като функция на генерализираните координати.

2.       В това подусловие важи: m₁ = m₂ = m₄ = m₅= 2m, m₃ = m, r₄ = r₅ = r и J_s4 = J_s5 = J. Изчислете общата кинетична енергия Т чрез генерализираните координати. Изчислете общата потенциална енергия V на системата чрез генерализираните координати. Използвайте за това даденото на скицата нулево ниво NN.

3.       За определени параметри в системата се получава кинетичният потенциал L = T – V.

Определете генерализираните сили Q_x1, Q_y2 и Q_ψ, които се получават в следствие на налягането и безпотенциалните сили.

Определете с помоща на уравненията на Лагранж от втори вид уравнението за движение на системата за координатата y₂.  

Решение:

 Задача 9: Техническа механика - Ускорения     Дискусии върху задачите се водят ТУК!

         Една трептяща система се състои се състои от една кръгла шайба с маса M и масов инерционен момент J_A, както и от една масова точка с маса m. Масовата точка може да се движи без триене в един канал, който се намира на разстояние а от точка А, и е свързан със шайбата посредством  две пружини с твърдост c/2. Шайбата е въртеливо лагерувана (без сили на триене) в точка А. Между нея и неподвижната околна среда е свързана спираловидна пружина с твърдост c_D. Положението на шайбата се описва чрез ъгловата координата φ, докато позицията на масовата точка в едновременнодвижещата се, закрепена за шайбата ξ-η кооординатна система се описва с линейната координата u. Пружината за u = 0 и φ = 0 е напълно отпусната.

1.       Разрежете системата през масовата точка m и нанесете всички видове ускорения. Напишете абсолютните стойности на ускоренията.

2.       Разрежете системата през през контактната точка между масата и шайбата и нанесете всички действащи сили върху скицата.

3.       Изчислете с помоща на принципа на Даламбер нелинейните диференциални уравнения за u и φ.

4.       При определени обстоятелства действат линелизираните уравнения на движение:

Напишете уравнението за определяне на собственната честота на системата.

Задача 8: Техническа механика - енергийни уравнения     Дискусии върху задачите се водят ТУК!

Дадено:

В миналото катапултите са били употребявани за изстелване на снаряди на големи разстояния. Опростен механичен модел на един такъв катапулт е представен на горната схема.  Катапултът K₁ се състои от една щанга с маса m₁, дължина l₁ и масов инерционен момент J_s1. Щангата е закрепена върху една безтегловна ролка R₂ с радиус r₂, която е въртеливо лагерувана в точка B. Винтовата пружина c_d1 свързва щангата с околната среда. Отклонението на щангата от вертикалата се описва с ъгъл φ. K₁ е зареден с масата m₃ и се намира в спокойно ъглово положение φ₀.

Чрез въжето S и чрез завъртане на ролката R₁ (радиус r₁) катапултът K₁ се завърта на ъгъл α.     По – късно чрез освобождаване на ролката R₁ се изхвърля тялото с маса m₃, което се удря в точка Е на незаредения катапулт K₂. K₂ се състои също от една шанга, която е въртеливо лагерувана в точка А, и свързана с околната среда чрез винтовата пружина c_d2. Щангата на катапулт K₂ има маса m₂ дължина l₂ и масов инерционен момент J_s2. Отклонението от вертикалата се описва от ъгъл  ψ. В първоначалното положение, втората щанга се намира в покой. Втората винтова пружина е ненапрагната при ъгъл φ = ψ = 0. Всички движения се извършват без триене. Съпротивлението на въздуха може да се пренебрегне.

1.       Определете кинематичната зависимост между ъглитe α и φ по време на обтягането на катапулт K₁ По – нататък следва: α = 0, φ=φ₀.

2.       Чрез сравнение на енергиите преди и след обтягането, определете работата ΔW, която се извършва в системата, когато K₁ преди и след обтягането се намира в покой.

3.       Поради загубите от триене, катапулт K₁ може да предаде само енергията E_ges=km₃ върху масата m₃. Каква скорост има тази масата непосредственно преди ударът със щангата на катапулт К₂?

4.       Скоростта на m₃ точно преди настъпването на ударът е V₃ = (v;0)^T_x‘,y . Разрежете системата от двете тела (щангата и масата) и нанесете всички релевантни и нерелевантни за удара сили и моменти.

5.       Намерете кинематичната връзка между ъгловата скорост ψ‘ и скоростта на точката на удара v_E върху катапулт K₂. Ударът се описва чрез ударното число ε. Намерете скоростта на m₃,както и ъгловата скорост ψ‘ на катапулта K₂ непосредственно след удара.

        Решение:

Задача 7: Уравнение на Бернули      Дискусии върху задачите се водят ТУК!

Дадено:

  За охлаждане на една индустриална инсталация се изпомпва вода с плътност ρ и динамичен вискозитет μ от един голям съд  В през един тръбопровод. В точка 1 се регистрира налягането p₁. Преностната система се състои от две колена K₁ и K₂, три тръби съответно с дължини L₁, L₂ и L₃, помпа и един вентил. Тръбите имат постоянен диаметър D. Нивото на водата в съда В е също константно и се намира на височина H от изхода му в точка 1. На повърхостта на водата действа атмосферното налягане P₀.

Хидравличните загуби в колената и тръбите трябва да се вземат под внимание.

В колената има хидравлични загуби - съответно ζ_k1 и ζ_k2. Потокът който преминава през помпата може да се разглежда без загуби.

1.       Изчислете височината H, когато на изхода на съда се отчете обемен поток от V = 5 m³/h, P₁ = 1,2 bar. Вентилът съответно е отворен и течността изтича свободно навън.

2.       В понататъчната част на задачата се използва пресметнатата по - горе височина. През нощта инсталацията не се нуждае от охлаждане и вентилът е затворен, a pомпата е излючена. Поради лекаж във вентила има изтичане на вода с обемен поток V = 1 m³/h. Изчислете загубите в налягането от неплтно затворения вентил при p₁ = 1,2 bar.

3.       Изчислете мощността на помпата, когато се реализира един обемен поток от V = 20 m³/h. Вентилът е отворен и потокът, който преминава през него няма загуби. Налягането p₁ = 1,5 bar.   

 Решение: